新世纪小学数学教材主要问题与解答(张丹) 五年级下册

新世纪小学数学教材主要问题与解答

五年级下册

一、整数乘分数与分数乘整数的意义是否相同？

有教师问，在以往的教学中，分数的意义很明确，几个几分之几就用分数乘整数，一个数的几分之几则用整数乘分数，但在教材第2页分数乘法（一）中，3个1/3是多少，是用整数乘分数来列式，这样是不是表明整数乘分数与分数乘整数的意义相同呢？

这实际上是乘法算式是否要区分“被乘数”和“乘数”的问题。根据《标准》的要求，本套教材中没有区分乘数和被乘数。例如在整数乘法的运算中，算式4×6既可以表示6个4相加，又可以表示4个6相加，即在不涉及具体问题情境下，可以代表两个意义，4×6＝6+6+6+6或4×6=4+4+4+4+4+4都是对的。反过来，6+6+6+6既可以写成4×6，也可以写成6×4。而4+4+4+4+4+4既可以用4×6表示，也可以用6×4表示。也就是一种意义可以用两种方式表示。但在具体应用问题的情境中，不同的算式有时表示不同的含义比如“有6个小朋友，每人有4支铅笔，一共有多少支铅笔？”，4×6只代表6个4相加，当然这个实际问题也可以列出算式“6×4”。

在解决实际问题教学过程时，教师要注意让学生理解各数的意义，鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义，但不要区分“被乘数”和“乘数”，即不要强调“被乘数”和“乘数”书写位置上的人为规定。同样，在分数乘法的内容中，教材也不区分乘数的位置，处理方法和整数一样，也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和，还可以表示一个数的几分之几是多少。

教材进行这样的处理在数学中是没有问题的，同时也减少了学生在学习中的“人为”障碍。学生在学习乘法时最重要的是体会乘法的意义，如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别，一是使学生将主要精力放在了这种区分上，而可能造成对乘法的意义学习的忽略；二是区分二者对学生来说一直是难点，这加重了学生不必要的负担，很多问题学生能够在具体情境中运用乘法正确解决，却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。

在运算教学中，教师要让学生经历从实际情境中抽象出运算的过程，要关注学生对运算意义的理解过程。教师要帮助学生建立实际问题与数学运算的内在联系，使学生通过解决实际问题，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义及其性质，并能自觉地运用于解决应用问题之中。在教材中，无论是对“分数乘法”的学习还是其他运算的学习，都十分重视加强学生对运算意义的理解。

需要指出的是，目前市场上有一些练习册，由于不了解我们的编写理念，会出现类似“3×1/5和1/5×3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目，这不是一个好题目，建议教师给予学生正确的引导，不要让学生在这些问题上浪费太多的时间。

在回答这个问题的同时，笔者看到了上海市浦东新区教育学院曹培英老师的一篇文章《关于乘法运算意义与乘法交换律的教学处理》，很受启发。文章在最后谈到的一段文字非常有道理，特摘录部分内容与大家分享（如下）。

事实上，面对用情景图或文字表达的实际问题，如：

“每袋有6个橘子，4袋一共有几个橘子？”

学生一般都能分清6×4或4×6中的6表示每袋6个橘子，4表示有4袋。但再进一步要求学生概括：“这是求4个6，而不是求6个4”，就会有学生感到困难。于是，为了帮助这些学生，教师们引进了各种各样的练习（包括所谓的“文字题”），越练越“玄”，越练要求越高……以往教学中，教学要求把握失当，也是造成或者说扩大“人为教学障碍”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步认识”的教学目标，是解决问题的一条配套措施。否则，即使从一开始就让学生认识乘法的可交换性，并取消书写位置的限制，仍会存在“人为的教学障碍”。

二、如何把握“展开与折叠”的教学要求？

教材第16页安排这一内容的主要目的是通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识；在想象、操作等活动中，发展空间观念，激发学习数学的兴趣。

这部分内容对学生的空间观念要求比高，有些学生会感到困难，建议教师充分利用教材附页中的材料，帮助学生操作、思考、判断，逐步发展学生的空间观念。教师还可以让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状，由于剪的方法不同，展开的形状也可能是不同的。虽然不要求学生掌握多种剪开的方法，但教师应借助这些展开图引导学生进行交流，发展学生的空间观念。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，这时教师可以适当地进行指导。教学过程中，在实物操作的基础上，教师要引导学生“闭上眼睛想象实物展开或折叠的过程”，促进学生建立表象，帮助学生理解并发展空间观念。

需要注意的是，在教学中有的教师给出了11种展开图，并让学生总结、记忆11种图形的特点，用以判断什么样的图形能折叠后围成正方体，什么样的图形不能围成正方体。对此我们认为要求过高，因为这里展开图只是用于发展学生空间观念的载体。在学生交流时，可以通过展示多种展开图让学生观察，但不宜让学生作为知识点来记忆。因为形式化的记忆、识别并不能真正起到发展学生空间观念的作用。

三、为什么把体积和容积的内容放在一起学习？

首先，容积是容器所能容纳物体的体积，从本质上说，容积和体积是一样的，只是应用的地方不一样。我们在学习概念时，要把握概念的本质特征。

其次，学生根据生活经验能够意识到，我们周围的物体是有大小的，同时也是占有一定空间的。例如，学生在生活中可能会判断一个食品袋能否装得下五个苹果，在这个判断的过程中自然就有朴素的对苹果体积和食品袋容积的体会。所以，学生借助生活经验会很容易地把体积和容积联系在一起。

因此，两个内容一起学习有助于学生体会容积和体积的本质，我们希望教师在二者的共同点上下功夫，不要让学生在二者的区别上耗费精力。

四、平均数、中位数和众数的区别和联系是什么？

平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。

平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。例如，在一个单位里，如果经理和副经理工资特别高，就会使得这个单位所有成员工资的平均水平也表现得很高，但事实上，除去经理和副经理之外，剩余所有人的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是刻画这个单位所有人员工资平均水平更合理的统计量。中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。由于各个统计量有各自的特征，所以需要我们根据实际问题来选择合适的统计量。

当然，出现极端数据不一定用中位数，一般，统计上有一个方法，就是认为这个数据不是来源于这个总体的，因而把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。

需要指出的是，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。

除了需要刻画平均水平的统计量，统计中还有刻画数据波动情况的统计量。比如，平均数同样是5，它所代表的数据可能是1，3，5，7，9，可能是4，4.5，5，5.5，6。也就是说5所代表的不同组数据的波动情况是不一样的。怎样刻画数据的波动情况呢？很自然的想法就是用最大值减最小值，即求一组数据的极差。数学中还有方差、标准差等许多用来刻画数据特征的统计量。当然这些都是教师感兴趣、值得了解的内容，不是小学数学的教学要求。